CARACTERÍSTICA, VAREIDADE E SUPERFÍCIE DE GRACELI   [GEOMETRIA, TOPOLOGIA E TOPOGEOMETRIA GRACELI.

 [+ FLUXOS VARIÁVEIS  / TEMPO].

 [+ FLUXOS VARIÁVEIS  / TEMPO].

A característica de Euler de uma superfície ${\displaystyle �}$ é dada por ${\displaystyle �(�)=�-�+�}$, onde ${\displaystyle �,�}$ e ${\displaystyle �}$ são respectivamente o número de vértices, arestas e faces de uma triangulação de ${\displaystyle �}$. Em particular a característica de Euler:^[3]

Uma variedade de Riemann é uma generalização do conceito métrico, diferencial e topológico do espaço euclidiano a objetos geométricos que localmente tem a mesma estrutura que o espaço euclidiano mas globalmente podem representar forma "curva". Com efeito, os exemplos mais simples de variedades de Riemann são precisamente superfícies curvas de ${\displaystyle {\mathbb{�}}^3}$ e subconjuntos abertos de ${\displaystyle {\mathbb{�}}^{�}}$.

A estrutura matemática da geometria riemanniana permite estender a subconjuntos curvos ou hipersuperfícies do espaço euclidiano, as noções métricas de comprimento de uma curva, área de uma superfície, (hiper)volume ou ângulo entre duas curvas. Isto é realizado definindo-se em cada ponto um objeto matemático chamado tensor métrico que permite especificar um procedimento para medir distâncias, e portanto definir qualquer outro conceito métrico baseado em distâncias e suas variações.

O comprimento de uma curva ${\displaystyle �(�)}$ é definido pela integração dos comprimentos dos vetores tangente em cada curva de tempo ${\displaystyle �}$.

Do ponto de vista matemático una variedade de Riemann é um tripleto do tipo:

${\displaystyle (\mathcal{�},\{{�}_{�}\},�)}$

Onde:

${\displaystyle (\mathcal{�},\{{�}_{�}\})}$ é uma variedade diferenciável na que se tenha especificado o conjunto de cartas locais.

${\displaystyle �}$ é uma aplicação bilinear definida positiva desde o espaço tangente à variedade: ${\displaystyle �:��\times ��\to \mathbb{�}.}$

Em particular, a métrica g permite definir em cada espaço tangente uma norma ||.|| mediante

${\displaystyle ||�||=\sqrt{�(�,�)}.}$

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